回転不変性と相似

系 3.5（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§3）・ ✓公理まで証明済み

直交行列 $O$ （ $O^{\mathsf{T}}O=I$ ）について $m(O(E))=m(E)$ 。
$t>0$ について $m(tE)=t^dm(E)$ 。
$T$ が正則、 $f\ge0$ がボレル関数ならば $\int_{\mathbb{R}^d}f(Tx)\,dx=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^d}f(y)\,dy$ 。 $f\in L^1$ のときも同じ等式が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 15 件

L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
直線の面積は 0✓補題 7.1・数列と関数の極限
軌道上の不変測度✓補題 5.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
熱核の性質✓補題 2.2・熱方程式
球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数
ルベーグ測度との比較✓命題 3.8・測度空間と Carathéodory の拡張定理
$ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
Besicovitch の被覆定理✓定理 5.5・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
ディラテーション群とその生成子✓補題 5.6・波動作用素と漸近完全性
Gauss 測度の共分散についての微分✓補題 3.8・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部
Mermin–Wagner の定理✓定理 6.5・φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型
Weinberg の収束定理（質量のあるユークリッドのスカラー場）✓定理 5.8・くりこみ理論入門

回転不変性と相似

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 15 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 15 件