球面測度の回転不変性

命題 6.4（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§6）・ ✓公理まで証明済み

$O$ を $d$ 次の直交行列とする。 $A\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ について $O(A)\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ かつ $\sigma(O(A))=\sigma(A)$ であり、ボレル関数 $g:S^{d-1}\to[0,\infty]$ （または $g\in L^1(\sigma)$ ）について $\int_{S^{d-1}}g(O\omega)\,d\sigma(\omega)=\int_{S^{d-1}}g\,d\sigma$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 5 件

月形・扇形の面積✓補題 5.3・立体の体積・球面・多面体
Girard の定理✓定理 5.4・立体の体積・球面・多面体
多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体
加法定理✓定理 4.1・球面調和関数と Legendre 関数
SU(2) の Haar 測度は 3 次元球面の一様測度✓補題 4.3・格子ゲージ場

球面測度の回転不変性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件