Minkowski の格子点定理

定理 2.3（「イデアル類群の有限性と Minkowski 限界」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Lambda \subseteq \mathbb{R}^m$ を格子とする。 $X \subseteq \mathbb{R}^m$ が可測な凸集合で $X = -X$ かつ $\mathrm{vol}(X) \gt 2^m\,\mathrm{covol}(\Lambda)$ ならば、 $X$ は $\Lambda$ の $0$ でない点を含む。 $X$ がさらにコンパクトなら、 $\mathrm{vol}(X) \ge 2^m\,\mathrm{covol}(\Lambda)$ で同じ結論が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
    外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Marsaglia の定理✓定理 4.3・擬似乱数生成器
アデール版 Minkowski の補題✓補題 4.6・アデールとイデール
Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
指定した方向に伸びる単数✓補題 6.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界

Minkowski の格子点定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件