線形写像によるルベーグ測度の変換

定理 3.4（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§3）・ ✓公理まで証明済み

$T\in M_d(\mathbb{R})$ とする。

$\det T\ne0$ ならば、任意のボレル集合 $E$ について $T(E)$ はボレル集合で $m(T(E))=|\det T|\,m(E).$
$\det T=0$ ならば、 $T(\mathbb{R}^d)$ は測度 $0$ の閉集合である。したがって任意の $E\subseteq\mathbb{R}^d$ について $T(E)$ は測度 $0$ のボレル集合に含まれ、上の等式は（両辺 $0$ として）成り立つ。
1 の等式はルベーグ可測集合 $E\in\mathcal{L}_d$ についても成り立ち、 $T(E)\in\mathcal{L}_d$ である（ $\det T\ne0$ のとき）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 52 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式
  - 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
- 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式
  - 行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
  - 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式
標準単体の体積✓補題 7.1・空間座標と空間ベクトル
四面体の体積✓定理 7.2・空間座標と空間ベクトル
基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
平均と揺らぎの分解（原論文 Lemma 19）✓補題 9.4・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
格子 Green 関数の漸近形✓補題 2.4・厳密くりこみ群

線形写像によるルベーグ測度の変換

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件