数学 › 解析学（実解析） › 測度空間と Carathéodory の拡張定理

測度の基本性質

命題 2.3（「測度空間と Carathéodory の拡張定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(X, \mathcal{A}, \mu)$ を測度空間とする。

単調性： $E \subset F$ ならば $\mu(E) \le \mu(F)$ 。
可算劣加法性： $\mu\bigl(\bigcup_n E_n\bigr) \le \sum_n \mu(E_n)$ 。
下からの連続性： $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$ ならば $\mu\bigl(\bigcup_n E_n\bigr) = \lim_n \mu(E_n)$ 。
上からの連続性： $E_1 \supset E_2 \supset \cdots$ かつ $\mu(E_1) < \infty$ ならば $\mu\bigl(\bigcap_n E_n\bigr) = \lim_n \mu(E_n)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

直線 y = c のまわりの回転体の体積✓定理 3.5・積分の応用
Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限✓定理 4.5・積分の応用
閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
ルベーグ測度との比較✓命題 3.8・測度空間と Carathéodory の拡張定理
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

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