アデール版 Minkowski の補題

補題 4.6（「アデールとイデール」§4）・ ✓公理まで証明済み

$C_K := (2/\pi)^{r_2}\sqrt{|d_K|}$ とおく（ $d_K$ は $K$ の判別式）。 $a = (a_v)_v$ を、すべての成分が $0$ でなく、有限個を除く有限素点で $|a_v|_v = 1$ となるアデールとする。 $\|a\| = \prod_v|a_v|_v \ge C_K$ ならば、

|\beta|_v \le |a_v|_v \qquad (\text{すべての素点 } v)

を満たす $\beta \in K^{\times}$ が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 104 件、定義なども含めて 121 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
Minkowski 埋め込み定義 3.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
    加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
    ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
    同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
- 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

強近似定理✓定理 4.8・アデールとイデール
ノルム 1 のイデール類群のコンパクト性✓定理 5.6・アデールとイデール

アデール版 Minkowski の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件