整基底の存在と判別式

定理 3.4（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§3）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を次数 $n$ の代数体とする。

$\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。その基底（整基底） $\omega_1, \ldots, \omega_n$ は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底でもある。
$d_K := d(\omega_1, \ldots, \omega_n)$ は整基底の取り方によらない $0$ でない整数である。これを $K$ の判別式という。
$\beta_i = \sum_j p_{ij}\omega_j$ （ $P = (p_{ij}) \in M_n(\mathbb{Z})$ 、 $\det P \neq 0$ ）が生成する部分群 $M$ について、 $[\mathcal{O}_K : M] = |\det P|$ 、 $d(\beta) = [\mathcal{O}_K:M]^2 d_K$ である。
$0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $[\mathcal{O}_K : \alpha\mathcal{O}_K] = |N(\alpha)|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
    PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
  - ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
    除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
    整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
    分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 6 件

アデール環の基本性質✓定理 4.2・アデールとイデール
整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
整数環は Dedekind 整域✓定理 4.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
整数環の基本事実✓定理 2.2・S 単数と Kummer 理論

整基底の存在と判別式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件