数学 › 線形代数学 › 対角化とジョルダン標準形

相似不変量

命題 2.2（「対角化とジョルダン標準形」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A \sim B$ ならば、次が成り立つ。

$A$ と $B$ の固有多項式は一致する。すなわち $\det(tI - A) = \det(tI - B)$ 。したがって固有値の全体も、各固有値の代数的重複度も一致する。
$\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B$ 、 $\det A = \det B$ 。
任意のスカラー $\lambda \in K$ と任意の整数 $j \ge 0$ に対し $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^j = \operatorname{rank}(B - \lambda I)^j$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 5 件

幾何的重複度は代数的重複度を超えない✓命題 3.6・対角化とジョルダン標準形
対角化可能性の判定✓定理 3.7・対角化とジョルダン標準形
細胞の個数を階数で数える✓命題 6.4・対角化とジョルダン標準形
トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
有限体のトレース形式✓補題 6.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

関連するノック 4 問