有限体のトレース形式

補題 6.2（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を標数 $p$ の有限体とし、 $|k| = p^f$ とする。 $x \in k$ に対し、 $x$ 倍写像 $k \to k$ を $\mathbb{F}_p$ 上の線形写像と見たときのトレースを $t(x) \in \mathbb{F}_p$ と書く。

$t(x) = x + x^p + x^{p^2} + \cdots + x^{p^{f-1}}$ 。
$0 \neq x \in k$ ならば、 $t(xy) \neq 0$ となる $y \in k$ がある。すなわち双線形形式 $(x, y) \mapsto t(xy)$ は非退化である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 58 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
オイラーの定理とフェルマーの小定理✓定理 7.3・部分群と剰余類
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
    分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形（上で展開済み）
相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

有限体の相対トレースは 0 でない✓補題 8.9・分解群・惰性群・Frobenius 元
判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

有限体のトレース形式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件