数学 › 代数学（群・環・体） › 部分群と剰余類

左剰余類の基本性質

補題 5.2（「部分群と剰余類」§5） ・ ✓公理まで証明済み

H≤GH \le G とし、a,b∈Ga, b \in G とします。

  1. a∈aHa \in aH。
  2. 次の 3 条件は同値です。(i) aH=bHaH = bH、(ii) a−1b∈Ha^{-1}b \in H、(iii) b∈aHb \in aH。
  3. aH∩bH≠∅aH \cap bH \ne \emptyset ならば aH=bHaH = bH。したがって相異なる左剰余類は互いに交わらず、(1) と合わせて GG は左剰余類たちの共通部分のない和集合として書けます。
  4. 写像 H→aHH \to aH、h↦ahh \mapsto ah は全単射です。特に ∣aH∣=∣H∣|aH| = |H| が成り立ちます（無限集合のときは濃度の等式として）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件