部分群

$G$ を群とし、$H$ を $G$ の部分集合とします。$H$ が次の 3 条件を満たすとき、$H$ を $G$ の部分群とよび、$H \le G$ と書きます。

• (S1) $e \in H$（$e$ は $G$ の単位元）。
• (S2) $a, b \in H$ ならば $ab \in H$（積で閉じている）。
• (S3) $a \in H$ ならば $a^{-1} \in H$（逆元で閉じている）。

$\{e\}$ と $G$ 自身はつねに $G$ の部分群であり、これらを自明な部分群とよびます。$H \le G$ かつ $H \ne G$ のとき、$H$ を真の部分群とよびます。