数学 › 数論 › 代数体の整数環と Dedekind 整域

トレースとノルムの性質

命題 3.3（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§3） ・ ✓公理まで証明済み

KK を次数 nn の代数体とする。

  1. α∈K\alpha \in K の最小多項式を gg、次数を dd とすると ∏i(x−σi(α))=g(x)n/d\prod_i (x - \sigma_i(\alpha)) = g(x)^{n/d}。特に Tr(α),N(α)∈Q\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Q} であり、α∈OK\alpha \in \mathcal{O}_K なら Tr(α),N(α)∈Z\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Z} である。
  2. Tr\mathrm{Tr} は Q\mathbb{Q} 線形、NN は乗法的で、α≠0\alpha \neq 0 なら N(α)≠0N(\alpha) \neq 0 である。
  3. 0≠α∈OK0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K ならば N(α)∈αOKN(\alpha) \in \alpha\mathcal{O}_K。
  4. ω1,…,ωn\omega_1, \ldots, \omega_n を KK の Q\mathbb{Q} 基底とすると d(ω)≠0d(\omega) \neq 0 であり、Ω=(σi(ωj))i,j\Omega = (\sigma_i(\omega_j))_{i,j} について d(ω)=(det⁡Ω)2d(\omega) = (\det\Omega)^2。ω′=Pω\omega' = P\omega（P∈Mn(Q)P \in M_n(\mathbb{Q})、ωi′=∑jpijωj\omega'_i = \sum_j p_{ij}\omega_j）ならば d(ω′)=(det⁡P)2d(ω)d(\omega') = (\det P)^2 d(\omega)。
  5. 4 の基底について、αωj=∑kakjωk\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k で定まる行列 Aα=(akj)A_\alpha = (a_{kj})（α\alpha 倍写像の表現行列）は tr Aα=Tr(α)\mathrm{tr}\,A_\alpha = \mathrm{Tr}(\alpha)、det⁡Aα=N(α)\det A_\alpha = N(\alpha) を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 10 件