同型の延長の個数

補題 7.5（「ガロア理論への招待」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi : K \to K'$ を体の同型、 $f \in K[X]$ を次数 $1$ 以上の多項式、 $L$ を $f$ の $K$ 上の最小分解体、 $L'$ を $\varphi(f)$ （係数に $\varphi$ を施した多項式）の $K'$ 上の最小分解体とする。このとき $\varphi$ を延長する体の準同型 $\psi : L \to L'$ はちょうど $[L:K]$ 個あり、どれも同型である。とくに $L/K$ がガロア拡大なら $|\mathrm{Aut}(L/K)| = [L:K]$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待

これを使っている定理証明で参照している 3 件

ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
アーベル–ルフィニの定理✓定理 6.2・ガロア理論への招待
埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域

同型の延長の個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件