数学 › 代数学（群・環・体） › ガロア理論への招待
アーベル–ルフィニの定理
を標数 の体、 を 上代数的独立な不定元とし、、
とおきます（一般 次方程式）。このとき の 上のガロア群は に同型です。したがって ならば、 は 上根号で解けません。
言い換えると、 のとき、 次方程式の根を係数から四則演算と巾根だけを有限回用いて表す一般的な「解の公式」は存在しません。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 45 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待（上で展開済み）
準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- S₅ は可解群でない✓命題 6.1・ガロア理論への招待
ガロアの可解性判定✓定理 5.4・ガロア理論への招待
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- 根号拡大の塔・根号で解ける定義 5.1・ガロア理論への招待
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎 この先をたどる →
同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
可解性は部分群・商群・拡大で保たれる✓命題 6.1・群の作用と Sylow の定理
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理（上で展開済み）
- 第三同型定理✓系 7.2・群の準同型定理 この先をたどる →
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。