ガロア理論の基本定理

定理 4.1（「ガロア理論への招待」§4）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を標数 $0$ の体の有限次ガロア拡大とし、 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とおきます。部分群 $H \le G$ に対し

L^H := \{\, x \in L \mid \sigma(x) = x \ \ (\forall \sigma \in H) \,\}

とおき（補題 3.2 の証明と同じ計算によりこれは $K$ を含む $L$ の部分体で、 $H$ の固定体といいます）、中間体 $M$ には $\mathrm{Gal}(L/M) = \mathrm{Aut}(L/M)$ を対応させます。このとき次が成り立ちます。

$|G| = [L:K]$ であり、 $L^G = K$ です。
任意の中間体 $M$ に対して $L/M$ はガロア拡大であり、2 つの対応

H \longmapsto L^H, \qquad M \longmapsto \mathrm{Gal}(L/M)

は互いに逆写像で、 $G$ の部分群全体と中間体全体との間の全単射を与えます。どちらも包含関係を逆にします。すなわち $H_1 \subseteq H_2 \iff L^{H_1} \supseteq L^{H_2}$ であり、 $M_1 \subseteq M_2 \iff \mathrm{Gal}(L/M_1) \supseteq \mathrm{Gal}(L/M_2)$ です。 3. 各 $H \le G$ に対し $[L : L^H] = |H|$ 、 $[L^H : K] = [G : H]$ （ $H$ の $G$ における指数）です。 4. 中間体 $M$ について、 $M/K$ がガロア拡大であることと $\mathrm{Gal}(L/M)$ が $G$ の正規部分群であることは同値です。このとき制限写像

\pi : G \longrightarrow \mathrm{Gal}(M/K), \qquad \sigma \longmapsto \sigma|_M

は well-defined な全射群準同型で $\ker \pi = \mathrm{Gal}(L/M)$ 、したがって準同型定理により

\mathrm{Gal}(M/K) \;\cong\; G/\mathrm{Gal}(L/M)

が成り立ちます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理

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ガロアの可解性判定✓定理 5.4・ガロア理論への招待
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根号で解けない具体的な 5 次方程式✓系 6.6・ガロア理論への招待
$Q_p$ の Abel 拡大と円分拡大の相互写像✓定理 4.6・類体論
Artin 写像は全射で、ノルムの上で自明✓命題 5.2・類体論
Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論
円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
素数冪次数の巡回拡大への還元✓補題 7.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
Krasner の補題✓補題 6.1・局所体
弱モーデル・ヴェイユの定理✓補題 17.14・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
Kummer 対✓補題 5.1・S 単数と Kummer 理論
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