数学 › 代数学（群・環・体） › ガロア理論への招待
根号で解けない具体的な 5 次方程式
は 上根号で解けません。すなわち、 の 上の最小分解体はどんな根号拡大の塔にも含まれません。さらに、 の 5 個の複素根はどれ 1 つとして、有理数から出発して四則演算と巾根を有限回組み合わせた式では表せません。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 57 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
x⁵ - 4x + 2 のガロア群は S₅✓命題 6.5・ガロア理論への招待
アイゼンシュタインの判定法✓定理 4.1・多項式環と体の拡大
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待（上で展開済み）
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
コーシーの定理✓系 4.3・群の作用と Sylow の定理
- Sylow の第 1 定理（存在）✓定理 4.2・群の作用と Sylow の定理 この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- p 次巡回置換と互換は Sp を生成する✓補題 6.4・ガロア理論への招待
- S₅ は可解群でない✓命題 6.1・ガロア理論への招待
ガロアの可解性判定✓定理 5.4・ガロア理論への招待
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- 根号拡大の塔・根号で解ける定義 5.1・ガロア理論への招待
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎 この先をたどる →
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
可解性は部分群・商群・拡大で保たれる✓命題 6.1・群の作用と Sylow の定理
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理（上で展開済み）
- 第三同型定理✓系 7.2・群の準同型定理 この先をたどる →
- 根号拡大の塔・根号で解ける定義 5.1・ガロア理論への招待
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待（上で展開済み）
自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。