数学 › 代数学（群・環・体） › 多項式環と体の拡大

アイゼンシュタインの判定法

定理 4.1（「多項式環と体の拡大」§4）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を UFD、 $K$ をその分数体、 $p \in R$ を素元とする。 $f = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \in R[x]$ （ $n \ge 1$ ）が

p \nmid a_n, \qquad p \mid a_i \ \ (0 \le i \le n-1), \qquad p^2 \nmid a_0

を満たすならば、 $f$ は $K[x]$ で既約である。さらに $f$ が原始多項式なら、 $f$ は $R[x]$ でも既約である。特に $R = \mathbb{Z}$ なら、 $f \in \mathbb{Z}[x]$ は $\mathbb{Q}[x]$ で既約である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
- 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 3 件

x⁵ - 4x + 2 のガロア群は S₅✓命題 6.5・ガロア理論への招待
立方体倍積と角の三等分の不可能性✓系 8.3・多項式環と体の拡大
複素トーラスが射影的になる条件✓系 7.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

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