数学 › 代数学（群・環・体） › 多項式環と体の拡大

ガウスの補題

定理 3.4（「多項式環と体の拡大」§3）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を UFD、 $K$ をその分数体とし、 $f \in R[x]$ を次数 $1$ 以上の原始多項式とする。

$f$ が $K[x]$ で $f = GH$ （ $\deg G, \deg H \ge 1$ ）と分解するなら、 $R[x]$ でも $f = gh$ （ $\deg g = \deg G$ , $\deg h = \deg H$ ）と分解する。
したがって $f$ が $R[x]$ で既約であることと、 $K[x]$ で既約であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎

これを使っている定理証明で参照している 3 件

R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
アイゼンシュタインの判定法✓定理 4.1・多項式環と体の拡大
重根の除去✓補題 4.2・解析的摂動論 II

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