自己同型は根を置換する

$L/K$ を体の拡大、$\sigma \in \mathrm{Aut}(L/K)$ とします。

1. $f \in K[X]$ と $\alpha \in L$ について、$f(\alpha) = 0$ ならば $f(\sigma(\alpha)) = 0$ です。すなわち $\sigma$ は $f$ の $L$ における根の集合を、それ自身の上へ置換します。
2. さらに、$f \in K[X]$ の $L$ における相異なる根の全体を $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ とし、$L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ が成り立つとします。このとき、$\sigma$ を根の集合上の置換に制限する写像

は単射な群準同型です。とくに $\mathrm{Aut}(L/K)$ は $S_n$ の部分群と同型な有限群で、その位数は $n!$ の約数です。