Dedekind の巡回型定理

定理 5.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域（2.1 節の設定）とする。 $h \in A[X]$ を次数 $m$ のモニック多項式、 $L$ を $h$ の $K$ 上の最小分解体、 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とし、 $h$ の $L$ での根を重複込みで $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ とする。 $\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとし、 $h$ の係数を $\mathfrak{p}$ を法として還元した $\bar h \in \kappa(\mathfrak{p})[X]$ が、相異なるモニック既約多項式の積 $\bar h = h_1\cdots h_r$ 、 $\deg h_j = d_j$ に分解するとする。このとき

$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ は相異なり、 $\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐である。
任意の $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ について、 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は根の集合 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$ の置換として、長さ $d_1, \ldots, d_r$ の互いに交わらない巡回置換の積である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 177 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限体上の既約多項式は分離的✓命題 7.6・多項式環と体の拡大
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類（上で展開済み）
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理この先をたどる →
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
円分体の整数環✓定理 4.2・円分体と Kronecker–Weber の定理

Dedekind の巡回型定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 4 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件