分解群の完全列

定理 3.4（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§3）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、 $L/K$ を Galois 拡大、 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ 、 $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ 、 $D = D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ 、 $I = I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ 、 $q = |\kappa(\mathfrak{p})|$ とし、 $e$ 、 $f$ 、 $g$ を補題 3.1 のとおりとする。準同型 $D \to \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$ 、 $\sigma \mapsto \bar\sigma$ は全射で核は $I$ である。すなわち

1 \longrightarrow I \longrightarrow D \longrightarrow \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p})) \longrightarrow 1

は完全で、 $I$ は $D$ の正規部分群、 $D/I$ は $x \mapsto x^q$ の類が生成する位数 $f$ の巡回群であり、

[G : D] = g, \qquad |D| = ef, \qquad |I| = e.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 175 件、定義なども含めて 192 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
    デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
    ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理（上で展開済み）
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理
- 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
  - 部分群定義 3.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類（上で展開済み）
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理

これを使っている定理証明で参照している 9 件

惰性群の生成と制限✓補題 7.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
順分岐の除去✓補題 7.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
高次分岐群の構造✓定理 9.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
局所体の高次分岐群✓命題 8.1・局所体

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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