数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

中間体での完全分解・不分岐の判定

系 4.2（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§4） ・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（AA は商体 KK の標数が 00 で剰余体が有限な Dedekind 整域、BB は有限次拡大 L/KL/K における AA の整閉包）で、L/KL/K を Galois 拡大、G=Gal(L/K)G = \mathrm{Gal}(L/K)、MM を中間体、H=Gal(L/M)H = \mathrm{Gal}(L/M)、P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}、PM=P∩M\mathfrak{P}_M = \mathfrak{P} \cap M とし、DD、II を P\mathfrak{P} の L/KL/K に関する分解群と惰性群、Z=LDZ = L^D、T=LIT = L^I とする。

  1. L/ML/M に関する P\mathfrak{P} の分解群と惰性群は D∩HD \cap H、I∩HI \cap H であり、e(PM∣p)=[I:I∩H]e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = [I : I \cap H]、e(PM∣p) f(PM∣p)=[D:D∩H]e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})\,f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = [D : D \cap H] である。
  2. e(PM∣p)=f(PM∣p)=1  ⟺  M⊆Ze(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = 1 \iff M \subseteq Z。また e(PM∣p)=1  ⟺  M⊆Te(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = 1 \iff M \subseteq T。
  3. p\mathfrak{p} が MM で完全分解する（p\mathfrak{p} の上の MM のすべての素イデアルで e=f=1e = f = 1）ことと、HH が DD の共役 τDτ−1\tau D\tau^{-1}（τ∈G\tau \in G）をすべて含むことは同値である。p\mathfrak{p} が MM で不分岐であることと、HH が II の共役をすべて含むことは同値である。
  4. M/KM/K が Galois 拡大なら、p\mathfrak{p} が MM で完全分解   ⟺  M⊆Z\iff M \subseteq Z、p\mathfrak{p} が MM で不分岐   ⟺  M⊆T\iff M \subseteq T。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 177 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

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