数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

円分体での素数の分解

定理 4.3（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 1$ 、 $L = \mathbb{Q}(\zeta_n)$ 、 $p$ を素数とし、 $n = p^km$ （ $p \nmid m$ 、 $k \ge 0$ ）と書く。 $p$ の $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ での位数を $f_m$ とする。

$k = 0$ のとき $p$ は $L$ で不分岐で、Artin 記号は $(L/\mathbb{Q}, p) = \sigma_p$ （ $\zeta_n \mapsto \zeta_n^p$ ）である。 $p$ は剰余次数 $f_n$ の素イデアル $\varphi(n)/f_n$ 個の積に分解する。
一般に $p$ の $L$ での分岐指数は $e = \varphi(p^k)$ 、剰余次数は $f = f_m$ 、素因子の個数は $g = \varphi(m)/f_m$ である。 $p$ の惰性体は $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ である。
$L$ で分岐する素数は、 $n$ の素因数のうち「 $p = 2$ かつ $k = 1$ 」の場合を除いたものである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 223 件、定義なども含めて 244 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円分体の整数環✓定理 4.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
- 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
- Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 有限体上の既約多項式は分離的✓命題 7.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 有限体のトレース形式✓補題 6.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理（上で展開済み）
- オイラー関数の乗法性と公式✓定理 7.3・整除と素因数分解
  - 剰余の分解✓系 6.5・整除と素因数分解この先をたどる →
  - 積と互いに素✓補題 7.2・整除と素因数分解この先をたどる →
  - 素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解この先をたどる →
- 判別式が互いに素な体の合成✓補題 4.1・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
- Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 局所的に等しければ等しい✓補題 3.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
- 完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- 判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論
完全分解する素数✓系 4.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
相互法則の円分体による証明✓命題 5.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
導手と分岐✓系 7.10・円分体と Kronecker–Weber の定理
円分体のゼータ関数の分解✓定理 7.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
二次体の指標✓補題 8.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

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