完全分岐なら素元で生成される

補題 9.2（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§9）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を離散付値環（2.1 節の仮定を満たすもの）、 $v$ をその付値とし、 $B$ の $0$ でない素イデアルが $\mathfrak{P}$ ただ 1 つで $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = n = [L : K]$ であるとする。このとき $B$ は離散付値環で、 $a \in K^{\times}$ について $v_{\mathfrak{P}}(a) = n\,v(a)$ である。さらに $v_{\mathfrak{P}}(\pi) = 1$ となる任意の $\pi \in B$ について、 $1, \pi, \ldots, \pi^{n-1}$ は $B$ の $A$ 基底であり、 $B = A[\pi]$ 、 $L = K(\pi)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 156 件、定義なども含めて 169 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
  - 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理
高次分岐群の構造✓定理 9.3・分解群・惰性群・Frobenius 元

完全分岐なら素元で生成される

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件