DVR の特徴づけ

定理 3.4（「離散付値環と Dedekind 環」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を次元 $1$ の Noether 局所整域とする。次は同値である。

$A$ は DVR である（ $\operatorname{Frac} A$ のある離散付値 $v$ について $A = A_v$ ）。
$A$ は整閉である。
$\mathfrak{m}$ は単項イデアルである。
$\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 1$ である。
$A$ の $0$ でないイデアルはすべて $\mathfrak{m}^n$ （ $n \ge 0$ ）の形である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 64 件、定義なども含めて 76 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

正規スキームの余次元 1 の点と関数の延長✓定理 4.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
アフィン直線との積✓定理 3.5・因子と直線束
曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理
完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
整域での (R₁)・(S₂)✓補題 9.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環

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