数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

非特異曲線の局所環と有理写像の延長

命題 10.1（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§10）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $X$ を $k$ 上の非特異曲線（次元 $1$ の非特異多様体）とする。

閉点 $x \in X$ での局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ は離散付値環で、その商体は $K(X)$ である。
$U \subseteq X$ を空でない開集合、 $Y$ を $k$ 上固有なスキーム（たとえば射影多様体）、 $f\colon U \to Y$ を $k$ 上の射とする。このとき $f$ は $k$ 上の射 $X \to Y$ にただ一通りに延びる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 228 件、定義なども含めて 265 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 次元と局所環✓補題 2.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
  - 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - 高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- 代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
- はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 付値環は支配について極大✓補題 4.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- 準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

楕円曲線の群構造✓定理 5.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理

非特異曲線の局所環と有理写像の延長

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件