数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 分離射・固有射と付値判定法
固有性の付値判定法
を有限型の射とし、 は Noether スキームであるとする（ が Noether スキームで が有限型ならそうなる）。次は同値である。
- は固有である。
- に対するどの付値の図式についても、持ち上げがちょうど一つ存在する。
なお 1 ⇒ 2 は、 についての Noether 性の仮定なしに成り立つ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 130 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射（上で展開済み）
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射（上で展開済み）
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
体と局所環に値をもつ点✓命題 7.2・アフィンスキームとスキーム
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
付値環は支配について極大✓補題 4.4・分離射・固有射と付値判定法
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層 この先をたどる →
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射 この先をたどる →
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射 この先をたどる →
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- アフィンスキームの射の像の閉包✓補題 4.1・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 付値環の存在✓定理 2.4・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 3 件
- 非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法
- 曲線の点と関数体の離散付値環✓命題 2.3・曲線と Riemann–Roch の定理