射影空間は固有

定理 7.3（「分離射・固有射と付値判定法」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}} \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は固有である。したがって任意のスキーム $Y$ について $\mathbb{P}^n_Y \to Y$ は固有で、射影射は固有である。準射影射は分離的で、 $Y$ が局所 Noether スキームなら有限型でもある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 140 件、定義なども含めて 171 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

アフィン開被覆による分離性の判定✓補題 3.5・分離射・固有射と付値判定法
固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射（上で展開済み）
- 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 付値環は支配について極大✓補題 4.4・分離射・固有射と付値判定法
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - アフィンスキームの射の像の閉包✓補題 4.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 付値環の存在✓定理 2.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射（上で展開済み）
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射（上で展開済み）
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 体と局所環に値をもつ点✓命題 7.2・アフィンスキームとスキーム
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射（上で展開済み）
- はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- スキームは点の関手で決まる✓定理 7.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
- 有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射この先をたどる →
Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法
固有かつアフィンな射は有限✓定理 8.4・分離射・固有射と付値判定法
射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
曲線の点と関数体の離散付値環✓命題 2.3・曲線と Riemann–Roch の定理
射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理

射影空間は固有

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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