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射影空間のコホモロジー

定理 5.1（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§5） ・ ✓公理まで証明済み

AA を Noether 環、r≥1r \ge 1、P=PArP = \mathbb P^r_A、n∈Zn \in \mathbb Z とする。

  1. H0(P,O(n))H^0(P, \mathcal O(n)) は nn 次斉次多項式の加群 SnS_n に等しい。すなわち xlx^l（li≥0l_i \ge 0、∣l∣=n|l| = n）を基底とする自由 AA 加群で、n≥0n \ge 0 のとき階数 (n+rr)\binom{n+r}{r}、n<0n < 0 のとき 00 である。
  2. 0<i<r0 < i < r および i>ri > r について Hi(P,O(n))=0H^i(P, \mathcal O(n)) = 0 である。
  3. Hr(P,O(n))H^r(P, \mathcal O(n)) は、xlx^l（すべての ii で li<0l_i < 0、∣l∣=n|l| = n）の類を基底とする自由 AA 加群である。とくに n>−r−1n > -r-1 なら 00、n≤−r−1n \le -r-1 なら階数 (−n−1r)\binom{-n-1}{r} で、Hr(P,O(−r−1))≅AH^r(P, \mathcal O(-r-1)) \cong A（生成元は (x0⋯xr)−1(x_0 \cdots x_r)^{-1} の類）である。
  4. s∈H0(P,O(n))s \in H^0(P, \mathcal O(n)) を掛ける射 μs ⁣:O(−n−r−1)→O(−r−1)\mu_s\colon \mathcal O(-n-r-1) \to \mathcal O(-r-1) により H0(P,O(n))×Hr(P,O(−n−r−1))→Hr(P,O(−r−1))≅A,(s,ξ)↦Hr(μs)(ξ)H^0(P, \mathcal O(n)) \times H^r(P, \mathcal O(-n-r-1)) \to H^r(P, \mathcal O(-r-1)) \cong A, \qquad (s, \xi) \mapsto H^r(\mu_s)(\xi) を定めると、これは有限階数の自由 AA 加群の完全ペアリングである。すなわち、それぞれが相手の AA 双対と同型になる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 203 件、定義なども含めて 241 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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