二重複体・全複体

1. $\mathcal{A}$ の二重複体 $C$ とは、対象の族 $(C^{p,q})_{p, q \in \mathbb{Z}}$ と射 $d_h\colon C^{p,q} \to C^{p+1,q}$、$d_v\colon C^{p,q} \to C^{p,q+1}$ で、$d_h d_h = 0$、$d_v d_v = 0$、$d_v d_h = d_h d_v$ を満たすものをいう。$q$ を固定した複体 $(C^{\bullet, q}, d_h)$ を第 $q$ 行、$p$ を固定した複体 $(C^{p, \bullet}, d_v)$ を第 $p$ 列という。$p < 0$ または $q < 0$ で $C^{p,q} = 0$ のとき第一象限の二重複体という。
2. 各 $n$ で $p + q = n$ を満たす $C^{p,q} \ne 0$ が有限個のとき（たとえば第一象限のとき）、全複体 $\operatorname{Tot}(C)$ を

で定める。すなわち $d$ の $C^{p,q}$ から $C^{p+1,q}$ への成分が $d_h$、$C^{p,q+1}$ への成分が $(-1)^p d_v$ で、他の成分は $0$ である。