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Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）

定理 4.1（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を位相空間、 $\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を開被覆、 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。 $I$ のすべての空でない有限部分集合 $\sigma$ とすべての $q \ge 1$ について $H^q(U_\sigma, \mathcal F) = 0$ であるとする。このとき、すべての $p \ge 0$ について

\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^p(X, \mathcal F)

である。この同型は、仮定を満たす層の間の射について自然である。とくに、 $X$ がアフィンスキーム上分離的な Noether スキーム、 $\mathfrak U$ がアフィン開被覆、 $\mathcal F$ が準連接層なら、仮定は満たされる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 151 件、定義なども含めて 181 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二重複体・全複体定義 7.1・鎖複体とホモトピー圏
入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
  - 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
  - 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
  - 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手この先をたどる →
Čech コホモロジーの 0 次と 1 次✓命題 3.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
- 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
  - 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
各行が分解なら全複体への写像は擬同型✓系 7.3・鎖複体とホモトピー圏
- 非輪状集成補題✓定理 7.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
- 擬同型と錐の非輪状性✓系 5.4・鎖複体とホモトピー圏
  - 写像錐の長完全列✓定理 5.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジー
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジー
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 入射加群に伴う層は脆弱✓補題 7.3・層コホモロジーこの先をたどる →
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件