数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 導来関手と δ 関手

導来関手は δ 関手をなす

定理 5.2（「導来関手と δ 関手」§5） ・ ✓公理まで証明済み

A\mathcal A は十分に入射対象をもち、F ⁣:A→BF\colon \mathcal A \to \mathcal B は加法関手とする。

  1. RnFR^nF は持ち上げの取り方によらずに定まる加法関手である。さらに、XX の任意の入射分解 II について、1X1_X の持ち上げ α ⁣:I→IX\alpha\colon I \to I_X が誘導する cI=Hn(F(α)) ⁣:Hn(F(I))→RnF(X)c_I = H^n(F(\alpha))\colon H^n(F(I)) \to R^nF(X) は α\alpha によらない同型で、射 f ⁣:X→Yf\colon X \to Y、YY の入射分解 I′I'、ff の持ち上げ ψ ⁣:I→I′\psi\colon I \to I' について cI′Hn(F(ψ))=RnF(f) cIc_{I'} H^n(F(\psi)) = R^nF(f)\, c_I が成り立つ。
  2. 短完全列 E ⁣:0→X′→uX→vX′′→0E\colon 0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0 について、補題 3.3 の包含と射影が与える複体の短完全列 0→F(IX′)→F(JE)→F(IX′′)→00 \to F(I_{X'}) \to F(J_E) \to F(I_{X''}) \to 0 の連結射を δEn ⁣:RnF(X′′)→Rn+1F(X′)\delta^n_E\colon R^nF(X'') \to R^{n+1}F(X') とする。これにより (RnF)n≥0(R^nF)_{n \ge 0} はコホモロジー的 δ 関手になる。
  3. 入射対象 II について、n≥1n \ge 1 で RnF(I)=0R^nF(I) = 0 である。FF が左完全なら、F(ηX) ⁣:F(X)→F(IX0)F(\eta_X)\colon F(X) \to F(I_X^0) は自然同型 F≅R0FF \cong R^0F を誘導する。
  4. 双対に、A\mathcal A が十分に射影対象をもつなら、(LnF)n≥0(L_nF)_{n \ge 0} はホモロジー的 δ 関手で、射影対象 PP について n≥1n \ge 1 で LnF(P)=0L_nF(P) = 0、FF が右完全なら L0F≅FL_0F \cong F である。反変関手 G ⁣:Aop→BG\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B の R∙GR^\bullet G は Aop\mathcal A^{\mathrm{op}} 上のコホモロジー的 δ 関手で、A\mathcal A の短完全列 0→X′→X→X′′→00 \to X' \to X \to X'' \to 0 ごとに連結射 RnG(X′)→Rn+1G(X′′)R^nG(X') \to R^{n+1}G(X'') をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 23 件

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