連結射の自然性

命題 3.3（「鎖複体とホモトピー圏」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列の射、すなわち可換図式

\begin{matrix} 0 & \to & X' & \xrightarrow{u} & X & \xrightarrow{v} & X'' & \to & 0 \\ & & \downarrow g' & & \downarrow g & & \downarrow g'' & & \\ 0 & \to & Y' & \xrightarrow{u_1} & Y & \xrightarrow{v_1} & Y'' & \to & 0 \end{matrix}

（行は短完全列）があれば、連結射について $\delta_Y^n H^n(g'') = H^{n+1}(g') \delta_X^n$ が成り立つ。したがって長完全列は短完全列について自然である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    元の同値関係✓補題 6.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
    双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
    加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏
    引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
加群の Tor・Ext との一致✓命題 7.1・導来関手と δ 関手
Tor の平衡性の自然性✓系 7.2・導来関手と δ 関手
lim¹ の記述と Mittag-Leffler 条件✓定理 8.2・導来関手と δ 関手
Ext の双関手性と連結射✓補題 4.1・Ext と拡大
コチェインによる表示✓系 3.5・群のコホモロジーと群の拡大
フィルター付き複体のスペクトル系列✓定理 4.2・スペクトル系列

連結射の自然性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件