Ext の双関手性と連結射

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとする。

1. $\operatorname{Ext}^n(X, -)$ と $\operatorname{Ext}^n(-, Y)$ は加法関手であり、$f\colon X \to X'$、$g\colon Y \to Y'$ について $\operatorname{Ext}^n(X, g)\operatorname{Ext}^n(f, Y) = \operatorname{Ext}^n(f, Y')\operatorname{Ext}^n(X', g)$ が成り立つ。
2. 射 $g\colon Y \to Y'$ と短完全列 $E\colon 0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ について、$\operatorname{Ext}^{n+1}(X'', g)\,\delta^Y_E = \delta^{Y'}_E \operatorname{Ext}^n(X', g)$ が成り立つ（$n \ge 0$。$n = 0$ では $\operatorname{Ext}^0(X', g)$ は $u \mapsto gu$ である）。
3. 拡大の射 $(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$（$F$ は $C'$ の $A$ による拡大、$E$ は $C$ の $A'$ による拡大）と対象 $Y$ について、$\operatorname{Hom}(A', Y)$ 上で $\delta^Y_F \circ \alpha^* = \gamma^* \circ \delta^Y_E$ が成り立つ。ここで $\alpha^*(u) = u\alpha$、$\gamma^* = \operatorname{Ext}^1(\gamma, Y)$ である。
4. 双対に、$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつなら、定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の $\operatorname{Ext}^n$ について 1 が成り立ち、$\operatorname{Hom}(X, -)$ の導来関手の連結射 $\delta_{E, X}\colon \operatorname{Ext}^n(X, Y'') \to \operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y')$（$E\colon 0 \to Y' \to Y \to Y'' \to 0$）について、$f\colon X \to X'$ に対し $\operatorname{Ext}^{n+1}(f, Y')\,\delta_{E, X'} = \delta_{E, X}\operatorname{Ext}^n(f, Y'')$ が成り立ち、拡大の射 $(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$ について $\operatorname{Hom}(X, C')$ 上で $\alpha_* \circ \delta_{F, X} = \delta_{E, X} \circ \gamma_*$ が成り立つ。