引き戻し・押し出しと Ext¹ の関手性

命題 4.3（「Ext と拡大」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、 $E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とする。

射 $\gamma\colon C' \to C$ について $\Theta(\gamma^*E) = \operatorname{Ext}^1(\gamma, A)\,\Theta(E)$ である。
射 $f\colon A \to Y$ について $\delta^Y_E(f) = \Theta(f_*E)$ である。
射 $\alpha\colon A \to A'$ について $\Theta(\alpha_*E) = \operatorname{Ext}^1(C, \alpha)\,\Theta(E)$ である。

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、 $\Theta'$ について同じ主張（2 は「 $g\colon Y \to C$ について $\delta_{E, Y}(g) = \Theta'(g^*E)$ 」）が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

拡大の引き戻しと押し出し✓補題 3.4・Ext と拡大
- 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
Ext の双関手性と連結射✓補題 4.1・Ext と拡大
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
- 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
  - 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 射影対象の直和と直和因子✓命題 3.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 分解・射影分解・入射分解定義 2.2・導来関手と δ 関手
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- δ 関手定義 4.1・導来関手と δ 関手
- アーベル圏の Ext定義 6.1・導来関手と δ 関手
Ext¹ と拡大の同値類✓定理 4.2・Ext と拡大
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 射影対象・入射対象定義 3.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- Ext の双関手性と連結射✓補題 4.1・Ext と拡大（上で展開済み）
- 拡大の射の分解✓補題 3.5・Ext と拡大
  - 拡大の引き戻しと押し出し✓補題 3.4・Ext と拡大（上で展開済み）
- 拡大の引き戻しと押し出し✓補題 3.4・Ext と拡大（上で展開済み）
- 分裂する短完全列✓補題 2.1・Ext と拡大この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

連結射と押し出し✓系 4.4・Ext と拡大
Baer 和と Ext¹ の加法✓定理 4.5・Ext と拡大

引き戻し・押し出しと Ext¹ の関手性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件