アーベル圏の Ext

$X, Y$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、$\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y) = R^n\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X, -)(Y) = H^n(\operatorname{Hom}(X, I_Y))$ と定める。射 $f\colon X \to X'$ には、鎖写像 $\operatorname{Hom}(f, I_Y)\colon \operatorname{Hom}(X', I_Y) \to \operatorname{Hom}(X, I_Y)$（$b \mapsto bf$）が誘導する射 $\operatorname{Ext}^n(f, Y)$ を対応させる。
2. $\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、$\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y) = R^n\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-, Y)(X) = H^n(\operatorname{Hom}(P_X, Y))$ と定める（定義 5.1 の 3）。射 $g\colon Y \to Y'$ には、鎖写像 $\operatorname{Hom}(P_X, g)$（$c \mapsto gc$）が誘導する射 $\operatorname{Ext}^n(X, g)$ を対応させる。