比較定理

定理 3.1（「導来関手と δ 関手」§3）・ ✓公理まで証明済み

（入射版） $\eta_E\colon X \to E$ を $X$ の右分解とする。 $I$ を $n < 0$ で $I^n = 0$ となり各 $I^n$ が入射対象である複体、 $\eta_I\colon Y \to I^0$ を $d_I^0 \eta_I = 0$ を満たす射、 $f\colon X \to Y$ を射とする。このとき鎖写像 $\varphi\colon E \to I$ で $\varphi^0 \eta_E = \eta_I f$ を満たすもの（ $f$ の持ち上げ）が存在し、 $f$ の二つの持ち上げは鎖ホモトピックである。
（射影版） $P$ を各 $P_n$ が射影対象の鎖複体（ $n < 0$ で $P_n = 0$ ）、 $\varepsilon_P\colon P_0 \to X$ を $\varepsilon_P d_1 = 0$ を満たす射、 $\varepsilon_Q\colon Q \to Y$ を $Y$ の左分解、 $f\colon X \to Y$ を射とする。このとき鎖写像 $\varphi\colon P \to Q$ で $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ を満たすものが存在し、そのような二つの鎖写像は鎖ホモトピックである。
$X$ の二つの入射分解 $I, I'$ について、 $1_X$ の持ち上げ $I \to I'$ はホモトピー同値である。射影分解についても同様である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象・入射対象定義 3.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

コホモロジーと順極限の交換✓補題 6.3・層コホモロジー
馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手
導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手
非輪状な複体から入射的な複体への射✓補題 2.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

比較定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件