コホモロジーと順極限の交換

補題 6.3（「層コホモロジー」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を Noether 位相空間、 $(\mathcal F_\alpha)_{\alpha \in A}$ を有向集合 $A$ で添字づけられた $\mathsf{Ab}(X)$ の順系（定義 6.1［極限と余極限］）、 $\mathcal F = \operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha$ とする。

すべての開集合 $U$ について、標準写像 $\operatorname{colim}_\alpha \mathcal F_\alpha(U) \to \mathcal F(U)$ は同型である。
すべての $\mathcal F_\alpha$ が脆弱なら、 $\mathcal F$ も脆弱である。
すべての $i \ge 0$ について、標準射 $\mathcal F_\alpha \to \mathcal F$ が誘導する写像 $\operatorname{colim}_\alpha H^i(X, \mathcal F_\alpha) \to H^i(X, \mathcal F)$ は同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限
- フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
- 集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限（上で展開済み）
- フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限
- フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
関手的な脆弱分解✓補題 6.2・層コホモロジー
層の圏は Grothendieck 圏✓定理 8.2・層
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
- 余積から余極限へ✓補題 6.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
  - フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
- 茎と摩天楼層の随伴✓補題 6.4・層
  - 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 生成子の性質✓補題 6.6・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ✓定理 7.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手この先をたどる →
比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手
- 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Grothendieck の消滅定理✓定理 6.5・層コホモロジー

コホモロジーと順極限の交換

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件