生成子の性質

補題 6.6（「射影対象・入射対象と Grothendieck 圏」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal A$ を AB3 を満たすアーベル圏とする。

$(U_s)_{s \in S}$ が生成集合なら、 $\bigoplus_s U_s$ は生成子である。
$U$ が生成子なら、各対象 $X$ について $c_X = [u]_{u \in \operatorname{Hom}(U, X)}\colon U^{(\operatorname{Hom}(U, X))} \to X$ は epi である。
$U$ を生成子とし、 $X$ の部分対象 $K$ に対して $\mathrm H(K) \subseteq \operatorname{Hom}(U, X)$ を $K$ を経由する射の集合とする。 $K \le K'$ と $\mathrm H(K) \subseteq \mathrm H(K')$ は同値である。とくに $K \mapsto \mathrm H(K)$ は $\operatorname{Sub}(X)$ から小さい集合 $\mathcal P(\operatorname{Hom}(U, X))$ への単射であり、 $\operatorname{Sub}(X)$ はある小さい集合と全単射で結ばれる。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC