数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

射影対象と Hom の完全性

命題 3.2（「射影対象・入射対象と Grothendieck 圏」§3） ・ ✓公理まで証明済み

A\mathcal A をアーベル圏、PP をその対象とする。次は同値である。

  1. PP は射影対象である。
  2. Hom⁡(P,−) ⁣:A→Ab\operatorname{Hom}(P, -)\colon \mathcal A \to \mathsf{Ab} は epi を全射に写す。
  3. Hom⁡(P,−)\operatorname{Hom}(P, -) は完全関手である。
  4. PP への epi q ⁣:Q→Pq\colon Q \to P はすべて分裂する（qs=1Pqs = 1_P となる ss がある）。

双対に、対象 II について次は同値である：II は入射対象、Hom⁡(−,I)\operatorname{Hom}(-, I) は完全（すなわち A\mathcal A の短完全列 0→A′→A→A′′→00 \to A' \to A \to A'' \to 0 を短完全列 0→Hom⁡(A′′,I)→Hom⁡(A,I)→Hom⁡(A′,I)→00 \to \operatorname{Hom}(A'', I) \to \operatorname{Hom}(A, I) \to \operatorname{Hom}(A', I) \to 0 に写す）、II からの mono はすべて分裂する。さらに、II が A\mathcal A の入射対象であることと Aop\mathcal A^{\mathrm{op}} の射影対象であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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