数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 導来関手と δ 関手

Ext の平衡性

定理 6.2（「導来関手と δ 関手」§6） ・ ✓公理まで証明済み

  1. ε ⁣:P→X\varepsilon\colon P \to X を XX の射影分解、η ⁣:Y→I\eta\colon Y \to I を YY の入射分解とする。同型
β ⁣:Hn(Hom⁡(P,Y))→ ∼ Hn(Hom⁡(X,I))(n≥0)\beta\colon H^n(\operatorname{Hom}(P, Y)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^n(\operatorname{Hom}(X, I)) \qquad (n \ge 0)

があり、次の意味で自然である：射 f ⁣:X′→Xf\colon X' \to X、g ⁣:Y→Y′g\colon Y \to Y' と X′X' の射影分解 P′P'、Y′Y' の入射分解 I′I'、持ち上げ φ ⁣:P′→P\varphi\colon P' \to P（ff の）、ψ ⁣:I→I′\psi\colon I \to I'（gg の）について、β′Hn(Hom⁡(φ,g))=Hn(Hom⁡(f,ψ)) β\beta' H^n(\operatorname{Hom}(\varphi, g)) = H^n(\operatorname{Hom}(f, \psi))\, \beta が成り立つ。ここで Hom⁡(φ,g)(c)=gcφ\operatorname{Hom}(\varphi, g)(c) = g c \varphi、Hom⁡(f,ψ)(b)=ψbf\operatorname{Hom}(f, \psi)(b) = \psi b f である。 2. A\mathcal A が十分に射影対象と入射対象をもつなら、定義 6.1 の 1 と 2 の Ext⁡An(X,Y)\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y) は両変数について自然に同型である。したがって Ext⁡∙(X,−)\operatorname{Ext}^\bullet(X, -) と Ext⁡∙(−,Y)\operatorname{Ext}^\bullet(-, Y) はどちらも δ 関手で、短完全列 0→X′→X→X′′→00 \to X' \to X \to X'' \to 0 から長完全列 0→Hom⁡(X′′,Y)→Hom⁡(X,Y)→Hom⁡(X′,Y)→Ext⁡1(X′′,Y)→⋯0 \to \operatorname{Hom}(X'', Y) \to \operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(X', Y) \to \operatorname{Ext}^1(X'', Y) \to \cdots が得られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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