馬蹄補題の分解の持ち上げ

補題 3.4（「導来関手と δ 関手」§3）・ ✓公理まで証明済み

短完全列 $E\colon 0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$ 、 $E_1\colon 0 \to Y' \xrightarrow{u_1} Y \xrightarrow{v_1} Y'' \to 0$ と、短完全列の射 $(g', g, g'')\colon E \to E_1$ （ $g u = u_1 g'$ 、 $g'' v = v_1 g$ ）が与えられたとする。 $X', X'', Y', Y''$ の入射分解 $I', I'', I'_1, I''_1$ から補題 3.3 の 1 で $X, Y$ の入射分解 $J, J_1$ が（それぞれ $\lambda, \tau$ と $\lambda_1, \tau_1$ によって）作られているとし、 $\varphi'\colon I' \to I'_1$ 、 $\varphi''\colon I'' \to I''_1$ を $g', g''$ の持ち上げとする。このとき射 $\sigma^n\colon I''^n \to I_1'^n$ があって、

\varphi^n = \begin{pmatrix} \varphi'^n & \sigma^n \\ 0 & \varphi''^n \end{pmatrix}\colon J^n \to J_1^n

は $g$ の持ち上げ $J \to J_1$ であり、 $(\varphi', \varphi, \varphi'')$ は複体の短完全列 $0 \to I' \to J \to I'' \to 0$ から $0 \to I'_1 \to J_1 \to I''_1 \to 0$ への射である。 2. 射影分解と補題 3.3 の 2 の分解についても、双対の主張が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 28 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
- 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 射影対象の直和と直和因子✓命題 3.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 分解・射影分解・入射分解定義 2.2・導来関手と δ 関手
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象・入射対象定義 3.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手
- 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手

馬蹄補題の分解の持ち上げ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件