数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 加法圏とアーベル圏

Hom の左完全性

命題 5.5（「加法圏とアーベル圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $\mathcal A$ の対象とする。

$\operatorname{Hom}(X, -)\colon \mathcal A \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手である。
$\operatorname{Hom}(-, X)\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手である。すなわち $A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A'' \to 0$ が完全なら $0 \to \operatorname{Hom}(A'', X) \xrightarrow{g^*} \operatorname{Hom}(A, X) \xrightarrow{f^*} \operatorname{Hom}(A', X)$ は完全である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏

これを使っている定理証明で参照している 3 件

捩れ群の Ext と Q/Z への双対✓系 6.3・Ext と拡大
変化環のスペクトル系列✓定理 5.4・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

関連するノック 1 問

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