分解・射影分解・入射分解

$X$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $X$ の右分解とは、$n < 0$ で $E^n = 0$ となる複体 $E$ と射 $\eta\colon X \to E^0$ の組で、列 $0 \to X \xrightarrow{\eta} E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} \cdots$ が完全なものをいい、$\eta\colon X \to E$ と書く。各 $E^n$ が入射対象のとき入射分解という。
2. 双対に、$X$ の左分解とは、鎖複体 $\cdots \to E_1 \to E_0$ と射 $\varepsilon\colon E_0 \to X$ の組で、$\cdots \to E_1 \to E_0 \xrightarrow{\varepsilon} X \to 0$ が完全なものをいう。各 $E_n$ が射影対象のとき射影分解という。
3. $n > N$ で $E^n = 0$（または $E_n = 0$）となる最小の $N \ge 0$ を分解の長さという。

右分解 $\eta\colon X \to E$ について、$X$ を次数 $-1$ に置き $d^{-1} = \eta$ とした複体を増強複体といい $\tilde E$ と書く。補題 2.1 の 1 により、(1) の条件は $\tilde E$ が非輪状であることと同値である。