完全性の基本操作

補題 2.1（「導来関手と δ 関手」§2）・ ✓公理まで証明済み

複体 $X$ が $X^n$ で完全である（ $X^{n-1} \to X^n \to X^{n+1}$ が完全である）ことと、 $H^n(X) = 0$ は同値である。
各 $n \in \mathbb Z$ について短完全列 $0 \to K^n \xrightarrow{j^n} E^n \xrightarrow{e^n} K^{n+1} \to 0$ が与えられたとき、 $d^n = j^{n+1} e^n$ とおくと $E = (E^n, d^n)$ は非輪状な複体である。
逆に $E$ が非輪状な複体なら、各 $n$ で $0 \to Z^n(E) \xrightarrow{\iota^n} E^n \xrightarrow{\bar d^n} Z^{n+1}(E) \to 0$ は短完全列である。
双積 $(A \oplus B, i_1, i_2, p_1, p_2)$ について $0 \to A \xrightarrow{i_1} A \oplus B \xrightarrow{p_2} B \to 0$ は短完全列である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理