数学 › 圏論・ホモロジー代数 › スペクトル系列

エッジ写像と 5 項完全列

命題 6.1（「スペクトル系列」§6）・ ✓公理まで証明済み

$p < 0$ または $q < 0$ なら $E_2^{p,q} = 0$ （第一象限）とする。

$F^0H^n = H^n$ 、 $F^{n+1}H^n = 0$ である。
epi $E_2^{n,0} \to E_\infty^{n,0}$ と mono $E_\infty^{n,0} \cong F^nH^n \to H^n$ の合成 $E_2^{n,0} \to H^n$ 、および epi $H^n \to H^n/F^1H^n \cong E_\infty^{0,n}$ と mono $E_\infty^{0,n} \to E_2^{0,n}$ の合成 $H^n \to E_2^{0,n}$ がある（エッジ写像）。
次の列は完全である：

0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2.

ここで $E_2^{1,0} \to H^1$ 、 $E_2^{2,0} \to H^2$ 、 $H^1 \to E_2^{0,1}$ はエッジ写像である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分が消えるときの E 項✓補題 2.2・スペクトル系列
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

高次の行が消えるときの同型✓補題 3.7・Ext 層と Serre 双対
Grothendieck のスペクトル系列の 5 項完全列✓系 5.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
1 行・2 行・2 列に集中する場合✓命題 6.2・スペクトル系列

関連するノック 2 問