数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 群のコホモロジーと群の拡大

コチェインによる表示

系 3.5（「群のコホモロジーと群の拡大」§3） ・ ✓公理まで証明済み

Cn(G,M)C^n(G, M) を写像 Gn→MG^n \to M 全体（C0(G,M)=MC^0(G, M) = M）とし、δn ⁣:Cn(G,M)→Cn+1(G,M)\delta^n\colon C^n(G, M) \to C^{n+1}(G, M) を

(δnf)(g1,…,gn+1)=g1f(g2,…,gn+1)+∑i=1n(−1)if(g1,…,gigi+1,…,gn+1)+(−1)n+1f(g1,…,gn)(\delta^n f)(g_1, \ldots, g_{n+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{n+1}) + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i f(g_1, \ldots, g_i g_{i+1}, \ldots, g_{n+1}) + (-1)^{n+1} f(g_1, \ldots, g_n)

で定める。

  1. (C∙(G,M),δ)(C^\bullet(G, M), \delta) は複体で、Hn(G,M)≅Hn(C∙(G,M))H^n(G, M) \cong H^n(C^\bullet(G, M)) が MM について自然に成り立つ。CnC^n の元を nn コチェイン、Ker⁡δn=Zn(G,M)\operatorname{Ker} \delta^n = Z^n(G, M) の元を nn コサイクル、Im⁡δn−1=Bn(G,M)\operatorname{Im} \delta^{n-1} = B^n(G, M) の元を nn コバウンダリという。
  2. Hn(G,Z)H_n(G, \mathbb{Z}) は、Z(Gn)\mathbb{Z}^{(G^n)} を項とし、微分を基底の上で ∂[g1∣⋯∣gn]=[g2∣⋯∣gn]+∑i=1n−1(−1)i[⋯∣gigi+1∣⋯ ]+(−1)n[g1∣⋯∣gn−1]\partial [g_1 | \cdots | g_n] = [g_2 | \cdots | g_n] + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i [\cdots | g_i g_{i+1} | \cdots] + (-1)^n [g_1 | \cdots | g_{n-1}] とする鎖複体の nn 次ホモロジーと同型である。
  3. GG 加群の短完全列 0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 から、自然な長完全列 0→H0(G,M′)→H0(G,M)→H0(G,M′′)→H1(G,M′)→⋯→Hn(G,M′′)→Hn+1(G,M′)→⋯0 \to H^0(G, M') \to H^0(G, M) \to H^0(G, M'') \to H^1(G, M') \to \cdots \to H^n(G, M'') \to H^{n+1}(G, M') \to \cdots が得られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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