$H^0$ と $H^1$

命題 4.2（「群のコホモロジーと群の拡大」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $G$ 加群とする。

$H^0(G, M) = M^G$ 。
$Z^1(G, M)$ は交差準同型全体、 $B^1(G, M)$ は主交差準同型全体で、 $H^1(G, M) \cong Z^1(G, M) / B^1(G, M)$ 。
$M$ が自明な $G$ 加群なら $H^1(G, M) \cong \operatorname{Hom}(G, M)$ （群準同型全体）。
$Z^2(G, M)$ は $g f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0$ を満たす $f\colon G^2 \to M$ 全体で、 $B^2(G, M)$ は $c\colon G \to M$ により $(\delta c)(g, h) = g c(h) - c(gh) + c(g)$ と書けるもの全体である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コチェインによる表示✓系 3.5・群のコホモロジーと群の拡大
- 自由 G 加群✓補題 2.4・群のコホモロジーと群の拡大
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大
    小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
    関手圏・垂直合成・水平合成定義 5.3・圏・関手・自然変換
    加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- bar 分解は自由分解✓定理 3.2・群のコホモロジーと群の拡大
  - G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大（上で展開済み）
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 自由 G 加群✓補題 2.4・群のコホモロジーと群の拡大（上で展開済み）
- 分解によらないこと✓命題 3.4・群のコホモロジーと群の拡大
  - 比較定理（G 加群）✓補題 2.5・群のコホモロジーと群の拡大
    G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大（上で展開済み）
  - 鎖ホモトピー定義 4.1・鎖複体とホモトピー圏
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

群のコホモロジーは導来関手✓補題 6.1・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
$H^2$ と拡大✓定理 5.2・群のコホモロジーと群の拡大
Schur–Zassenhaus の定理（Abel 核の場合）✓系 7.4・群のコホモロジーと群の拡大
インフレーション–制限完全列✓命題 7.5・群のコホモロジーと群の拡大
Hilbert の定理 90（一般形）✓定理 8.1・群のコホモロジーと群の拡大
Hilbert の定理 90（加法版）✓命題 8.2・群のコホモロジーと群の拡大

H0H^0H0 と H1H^1H1

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

関連するノック 3 問

$H^0$ と $H^1$

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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