数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

群のコホモロジーは導来関手

補題 6.1（「Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー」§6）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を群、 $N \trianglelefteq G$ を正規部分群とする。

$\mathsf{Mod}_G$ は十分に入射対象と射影対象をもつ。
$(-)^N\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Mod}_{G/N}$ は $\inf$ の右随伴で、左完全であり、入射対象を入射対象に写す。とくに $N = G$ として、 $(-)^G\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Ab}$ は左完全である。
$H^\bullet(G, -)$ は普遍 δ 関手で、 $H^0(G, M) = M^G$ を延長する δ 関手の同型 $R^\bullet(-)^G \cong H^\bullet(G, -)$ がある。
忘却関手 $U\colon \mathsf{Mod}_{G/N} \to \mathsf{Ab}$ について、 $U \circ R^q((-)^N)(M) \cong H^q(N, M)$ が $G$ 加群 $M$ について自然に成り立つ。ここで右辺は $M$ を $N$ 加群とみたもののコホモロジーである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Grothendieck 圏の例✓命題 6.7・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 余積から余極限へ✓補題 6.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 関手圏の極限は各点で計算できる✓命題 5.1・極限と余極限この先をたどる →
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 生成子の性質✓補題 6.6・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ✓定理 7.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 生成子の性質✓補題 6.6・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 選択公理と順序数✓命題 7.1・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 宇宙と到達不能基数✓定理 2.5・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- カントールの定理✓定理 7.1・濃度と無限この先をたどる →
- 後者基数は正則である✓定理 6.8・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
- 有向な部分対象の族と AB5✓補題 6.5・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 余積から余極限へ✓補題 6.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- Baer 型の判定法✓補題 7.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 共終数・正則基数定義 6.5・公理的集合論 ZFC
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
自由 G 加群✓補題 2.4・群のコホモロジーと群の拡大
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大（上で展開済み）
G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大
- 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
- 関手圏・垂直合成・水平合成定義 5.3・圏・関手・自然変換
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
随伴と完全性✓命題 4.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
コチェインによる表示✓系 3.5・群のコホモロジーと群の拡大この先をたどる →
$H^0$ と $H^1$ ✓命題 4.2・群のコホモロジーと群の拡大
- コチェインによる表示✓系 3.5・群のコホモロジーと群の拡大この先をたどる →
余誘導加群定義 6.3・群のコホモロジーと群の拡大
Shapiro の補題✓補題 6.4・群のコホモロジーと群の拡大この先をたどる →
導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
完全関手との合成✓補題 2.1・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジーこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列✓定理 6.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
インフレーション–制限完全列の延長✓系 6.3・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

群のコホモロジーは導来関手

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件