関手圏の極限は各点で計算できる

$\mathcal{K}$ を小さい圏、$D : J \to [\mathcal{K}, \mathcal{C}]$ を図式とし、$D_j(k)$ を $D_j$ の $k$ での値と書く。各 $k \in \mathcal{K}$ について図式 $D_{-}(k) : J \to \mathcal{C}$ が極限 $(L(k), \lambda^{k})$ をもつなら、$L$ は関手 $\mathcal{K} \to \mathcal{C}$ になり、$\lambda_j = (\lambda^{k}_j)_k : L \Rightarrow D_j$ は自然変換で、$(L, \lambda)$ は $D$ の極限である。とくに $\mathcal{C}$ が完備（余完備）なら $[\mathcal{K}, \mathcal{C}]$ も完備（余完備）である。